Nguyên hàm là một trong những phần trọng tâm của chương trình toán THPT. Nếu không nắm chắc các công thức của phần này các em sẽ rất khó đi thi THPTQG. Hiểu được điều đó, WElearn đã tổng hợp lại tất cả các bảng nguyên hàm thường dùng nhất, các tính chất của nguyên hàm, phương pháp tính nguyên hàm cũng như các dạng bài tập thường hợp.
Nguyên hàm là gì?
Định nghĩa về nguyên hàm
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
Từ đó cho ra các định lý về thuộc về bảng nguyên hàm như sau:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm f(x) trên K.
Và ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì khi đó mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều sẽ có dạng F(x) + C với C là một hằng số bất kỳ.
Tính chất của nguyên hàm
Bảng nguyên hàm thông dụng nhất
Bảng nguyên hàm cơ bản
Bảng nguyên hàm mở rộng
Thực tế, chúng ta áp dụng tính chất sau : Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì:
Bảng nguyên hàm nâng cao
Bảng nguyên hàm của hàm hợp
Bảng nguyên hàm lượng giác
Phương pháp tìm nguyên hàm
Phương pháp đổi biến
Đổi biến dạng 1
Công thức: ∫ f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Phương pháp giải
- Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
- Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.
- Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
- Bước 4: Khi đó: I = ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp đổi biến loại 2
Công thức: ∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)].φ'(t)dt
Phương pháp chung
- Bước 1: Chọn x = φ( t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
- Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.
- Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
- Bước 4: Khi đó tính: ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Dấu hiệu và cách biến đổi
Phương pháp nguyên hàm từng phần
Công thức: ∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u'(x)dx Hay ∫udv = uv – ∫vdu (với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx)
Phương pháp chung
- Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ∫ f(x)dx = ∫ f1(x).f2(x)dx
- Bước 2: Đặt:
- Bước 3: Khi đó: ∫u.dv = u.v – ∫v.du
Các dạng thường gặp
- Dạng 1
- Dạng 2
- Dạng 3
Bằng phương pháp tương tự ta tính được 
sau đó thay vào I.
Cách tìm nguyên hàm bằng máy tính
Phương pháp:
- Bước 1 Tìm tập xác định
- Bước 2 Thiết lập sử dụng cả hàm f(x) và g(x)
- Bước 3 Sử dụng chức năng Table để tính
- Bước 4 Nhập f(x) bằng tích phân của hàm đã cho – hàm ở phương án A
- Bước 5 Tương tự nhập g(x) bằng tích phân của hàm đã cho – hàm ở phương án B
- Bước 6 Nhập
- Bước 7 Quan sát bảng giá trị của f(x) và g(x)
- Nếu f(x) là hàm hằng thì phương án A là đáp án
- Nếu g(x) là hàm hằng thì phương án B là đáp án
- Nếu cả f(x) và g(x) đều không là hàm hằng thì kiểm tra với phương án C, D
Ví dụ: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=cos x + 6x là
A. sinx + 3x2 + C
B. – sinx + 3x2 + C
C. sinx + 6x2 + C
D. -sinx + C
Giải bằng máy tính
Sử dụng chức năng Table bằng cách nhấn MENU 8
- Bước 1 Nhập f(x)
- Bước 2 Nhập g(x)
- Bước 3 Nhập Start = 1, End = 30, Step = 1
- Bước 4 Quan sát bảng giá trị của f(x) và g(x)
Vì tất cả các giá trị của f(x) đều bằng nhau nên f(x) là hàm hằng
Vậy phương án A là đáp án
Các dạng bài tập nguyên hàm
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
Dạng 2: Tìm nguyên hàm của hàm số bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Như vậy, bài viết đã tổng hợp lại những kiến thức cơ bản nhất về nguyên hàm và Bảng Nguyên Hàm Đầy Đủ Và Chính Xác Nhất để giúp bạn làm hành trang khi đi thi. Mong các bạn có thể cải thiện môn toán của mình. Chúc các bạn thành công. Chúc bạn thành công nhé!
TRUNG TÂM GIA SƯ WELEARN
- Địa chỉ 1: 38 Đ. Số 23, Linh Chiểu, Thủ Đức, Thành phố Hồ Chí Minh.
- Địa chỉ 2: 104 Hồ Văn Tư, Trường Thọ, Thủ Đức, Thành phố Hồ Chí Minh.
- Hotline: 0906782291
- Mail: welearnvietnam@gmail.com
- Website: https://welearnvn.com/
- Fanpage: WELearn Gia Sư
