? Trung tâm gia sư WElearn chuyên giới thiệu, cung cấp và quản lý Gia sư.
? Đội ngũ Gia sư với hơn 1000 Gia sư được kiểm duyệt kỹ càng.
? Tiêu chí của chúng tôi là NHANH CHÓNG và HIỆU QUẢ. NHANH CHÓNG có Gia sư và HIỆU QUẢ trong giảng dạy.
Đường tiệm cận là phần dễ khiến các bạn học sinh nhầm lẫn nhất. Nếu không làm bài tập thường xuyên và không nắm chắc kiến thức, bạn sẽ rất khó để đạt điểm tốt. Vì vậy, Trung tâm gia sư WElearn đã tổng hợp tất cả các dạng bài tập về đường tiệm cận để giúp bạn vừa cũng cố kiến thức cũ, vừa trau dồi thêm những kiến thức mới. Cùng theo dõi nhé!
>>>> Xem thêm: Gia sư Lớp 12
Nếu: lim x→+∞f(x)=y0 hoặc lim x→–∞f(x)=y0
thì đường thẳng y=y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C)
Nếu:limx→x0+f(x)=±∞ hoặc limx→x0 – f(x)=±∞
thì đường thẳng x=x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
VD: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thi hàm số y = x+2
Để tìm đường tiệm cận xiên của (C) trước hết phải có điều kiện:
limx→+∞f(x)=±∞
hoặc limx→−∞f(x)=±∞
Sau đó tìm phương trình đường tiệm cận xiên có 2 cách:
– Phân tích biểu thức y = f(x) thành dạng y=f(x)=a(x)+b+ε(x) với limx→±∞ε(x)=0 thì y=a(x)+b(a≠0) là đường tiệm cận xiên của (C) y = f(x)
– Hoặc ta tìm a và b bởi công thức:
a = limx→±∞f(x)x
và b = limx→±∞[f(x)−ax]
Khi đó y = ax + b là phương trình đường tiệm cận xiên của (C): y = f(x).
– Tiệm cận ngang
Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc
– Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau
Hướng dẫn:
a. Ta có:
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b. Ta có:
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
c. Ta có:
⇒ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
⇒ x = 1/2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
(THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng 2017). Cho hàm số . Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Tính giá trị biểu thức P = m + n.
Hướng dẫn
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = m + 1 và tiệm cận đứng x = n – 1. Do đó đồ thị hàm số nhận trục tung x = 0 và trục hoành y = 0 làm tiệm cận khi và chỉ khi
(THPT chuyên Thái Nguyên 2017 L2). Tìm m để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng.
Hướng dẫn
Ta có x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2
Để hai đường thẳng x = 1 và x = 2 là đường tiệm cận của đồ thị hàm số thì x = 1 và x = 2 không là nghiệm của tử số mx3 – 2. Tức là:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.
Hướng dẫn
Ta có nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì
phương trình x2 – 4x + m = 0 vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ 4 – m < 0 ⇔ m > 4
Cho hàm số:
Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số thì c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0
Khi đó phương trình các đường tiệm cận là
Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 3 là
A. m = 1 B. m = 0 C. m = 2 D. m = 3
Cho hàm số
Cho hàm số
Bài tập 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
A. m = 8 B. m = 0 C. m ≠ 4 D. m ≠ -8
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tập xác định
Đặt g(x) = mx2 – 2x + 1
Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì x = -½ không được là nghiệm của g(x)
g(-½) = m/4 + 2 khác 0 => m khác -8
Cho hàm số vô tỷ y = f(x)
Tìm tập xác định D của hàm số.
Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) thì trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn hoặc hữu hạn.
Bài tập 1: Biết đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = -1. Giá trị 2a + b3 bằng
A. 56 B. -56 C. -72 D. 72
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện ax2 + bx + 4 ≥ 0
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì a > 0
Khi đó, ta có
Vậy 2a + b3 = -56
Chú ý: Để thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có a – 4 = 0. Khi đó
Cho đồ thị hàm số
Xác định tiệm cận đứng:
Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận của đồ thị, bảng biến thiên của hàm số để xác định.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Tổng số đường tiệm cận của hàm số
A. 2 B. 3 C. 1 D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn D
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình f(x) + 1 = 0 ⇔ f(x) = -1
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng.
Ta có nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là
y = ¼; y = ½
Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận
Cho đồ thị hàm số
Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) tìm nghiệm của phương trình g(x) = 0 và xác định biểu thức g(x)
Rút gọn biểu thức và tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang.
Chú ý:
– Điều kiện tồn tại của φ(x)
– Sử dụng tính chất nếu đa thức g(x) có nghiệm là x = x0 thì g(x) = (x – x0)․g1(x), ở đó g1(x) là một đa thức.
Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ.
Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 4 B. 6 C. 3 D. 5
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điều kiện xác định
Xét phương trình
Dựa vào đồ thị ta thấy
Khi đó
f2(x) – f(x) = f(x) [f(x) – 1 ] = a2(x – x1)(x – 2)2(x – 1)(x – x2)(x – x3)
Suy ra
Trong đó x1 < 1, x2 ∈ (1; 2), x3 > 2 nên đồ thị hàm số y = g(x) có ba tiệm cận đứng là x = 2; x = x2; x = x3
Cho hàm số
Điều kiện đề đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc f(x) ≤ bậc g(x). Khi đó đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang.
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x0
Ta có f(x) = (x – x0)m․f1(x) với f1(x) không có nghiệm x = x0 và g(x) = (x – x0)n․g1(x) với g1(x) không có nghiệm x = x0. Khi đó
Nên x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Cho đồ thị hàm số
Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số có ba tiệm cận. Tổng các giá trị của tập S bằng
A. 6 B. 19 C. 3 D. 15
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điều kiện x2 + 2x + m2 – 3m ≠ 0
Ta có đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 0
Số đường tiệm cận đứng của hàm số đã cho là số nghiệm khác -2 của phương trình x2 + 2x + m2 – 3m = 0 nên để đồ thị hàm số có ba tiệm cận thì phương trình x2 + 2x + m2 – 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác -2.
Do m nguyên dương nên m ∈ {1; 2}.
Vậy tổng các giá trị của tập S bằng 3.
Thực hiện theo các bước sau
Tiệm cận ngang
Tiệm cận đứng: Tồn tại giá trị x0 để một trong các giới hạn hoặc thì x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Cho đồ thị hàm số
Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận là
A. m ≥ 4/9
B. m > 0
C. 0 < m < 4/9
D. ∀ m ∈ ℝ
Hướng dẫn giải
Chọn A
Điều kiện
Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì m > 0
Khi đó tập xác định của hàm số là
Nếu m ≤ 0 thì mx2 – 4 < 0
Ta có nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là
Để tồn tại tiệm cận đứng x = 3 thì
Kết hợp lại ta có m ≥ 4/9
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và y = f’(x) có bảng biến thiên như sau
Đồ thị hàm số có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Điều kiện f(x) ≠ m
Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng thì phương trình f(x) = m phải có nghiệm.
Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là với -1 < a < 1 < b
=>
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau
Suy ra phương trình y = f(x) có nhiều nhất là ba nghiệm phân biệt.
Vậy đồ thị hàm số có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng.
Cho đồ thị hàm số
Giả sử đồ thị hàm số có đồ thị (C) có các đường tiệm cận là
và
Gọi
là điểm bất kỳ trên đồ thị
Khi đó tiếp tuyến của (C) tại M là
Gọi A = d ∩ ∆1
B = d ∩ ∆2
Do đó là một số không đổi
Do △IAB vuông tại I nên là một số không đổi
Ngoài ra, ta có nên M luôn là trung điểm của AB.
Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB.
Câu 2: Tìm điểm M ∈ (C) hoặc viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có
Cạnh huyền nhỏ nhất
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB
Chu vi nhỏ nhất
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB
Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB
Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất
Vậy r lớn nhất khi IA + IB + AB nhỏ nhất và bằng
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB
Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của I lên d, ta có
Dấu bằng xảy ra khi IA = IB
Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy ra khi IA = IB nên △IAB vuông cân tại I. Gọi α là góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang ∆2 thì α = (d; ∆2) = (d; Ox) = 45° nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = ±tan 45° = ±1.
Vậy các bài toán trong câu 2 ta quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc k = 1 hoặc k = -1.
Cho hàm số
có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc (C) cắt các đường tiệm cận của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằng
Bài 1. Giá trị của m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. m = 2 B. m = – 2 C. m = 4 D. m ≠ 4
Bài 2. Giá trị của m để tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
A. m = 2 B. m = -2 C. m = 4 D. m = -4
Bài 3. Cho hàm số
A. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 1
B. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = ±1
C. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 1 và y = – 1.
D. Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là x = ±1, y = 1
Bài 4. Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang:
Bài 5. Số các đường tiệm cận của hàm số
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Bài 6. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số
A. m > 2 hoặc m < – 2 B. m > 2 hoặc m < -1
C. m > 1 hoặc m < -1 D. Đáp án khác
Bài 7. Số các đường tiệm cận của hàm số
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Bài 8. Số các đường tiệm cận của hàm số
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Bài 9. Cho hàm số
A. -1 B. – 3 C. – 2 D. 3
Bài 10. Cho hàm số
A. 2 B. 4 C. – 2 D. – 4
Bài 11. Gọi x, y, z lần lượt là số các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
A. x < y < z B. y < x < z
C. z < x < y D. z < y < x
Bài 12. Cho hàm số
A . m = 1 B. m = – 1 C. m = 2 D. m = -2
Bài 13. Cho hàm số
A. m = 1 B. m = 2
C. m = – 2 D.Không có giá trị thỏa mãn.
Bài 14. Đồ thị hàm số
A. Có 1 tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang
B. Không có tiệm cận đứng, có tiệm cận ngang
C. Không có tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang
D. Có 2 tiệm cận đứng, 1tiệm cận ngang
Bài 15. Với giá trị nào của m thì đồ thị
Bài 16. Cho hàm số
A. m = 1 B. m ≠ -1 C. m ≠ 1 D. m > 1
Bài 17. Cho hàm số
A. m = 2 B. m = 3 C. m = -3 D. m = – 2
Bài 18. Cho hàm số
A. m = 1
B. m = -2
C. m = – 1
D. Không có giá trị nào thỏa mãn.
Bài 19. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R\ {3}và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Số các phát biểu đúng trong các phát biểu sau là ?.
1) Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng
2) Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang
3) Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị
4) Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 1 và x = 3
Số các phát biểu sai trong các phát biểu sau là ?.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Bài 20. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:
A. y = – 1 B. x = 1; x = 3 C. y = 1; y = 3. D. x = ±1; x = ±3.
Câu 1: C
Để đường thẳng
Câu 2: C
Ta có:
Do đó; để đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi:
Câu 3: C
Ta có;
Do đó; đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là y = 1 và y = – 1.
Câu 4: C
* Cách 1: Xét phương án C; ta có:
Do đó, đồ thị hàm số này không có tiệm cận ngang.
Cách 2. Cho một hàm số phân thức; nếu bậc cao nhất của tử lớn hơn bậc cao nhất của mẫu thức thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Câu 5: D
* Phương trình 3- x2 = 0
Do đó, đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là
* Lại có:
Do đó,đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận ngang là y = 0 .
Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận.
Câu 6: A
* Ta có:
Do đó, đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận ngang là y = 0.
* Bài toán trở thành tìm m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng . Điều này xảy ra khi và chỉ khi
Phương trình: x2 – mx+ 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Vậy để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi m < -2 hoặc m > 2.
Câu 7: B
* Ta có:
⇒ đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Lại có:
Suy ra; đường thẳng x = – 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Suy ra; tiệm cận ngang là y = 1.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận,
Câu 8: C
* Hàm số đã cho luôn xác định với mọi giá trị của x nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
* Ta có:
Do đó, đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang là y = 1 và y = – 1.
Vậy đồ thi hàm số đã cho có tất cả hai đường tiệm cận
Câu 9: B
* Do đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = 2 nên ta có:
2+ n = 0 ⇔ n = – 2 .
Khi đó; hàm số đã cho có dạng
* Lại có; điểm A(3; -1) thuộc đồ thị hàm số nên ta có:
Vậy m+ n = -1+ ( – 2) = – 3
Câu 10: D
Do đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 4 nên ta có:
Khi đó; hàm số đã cho có dạng:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A( – 2; 0) nên ta có:
Suy ra; a –b = – 4
Câu 11: C
Ta tìm số đường tiệm cận của từng đồ thị hàm số.
+ Xét hàm số
⇒ x = 2.
+ Xét hàm số
Do đó y = 3
+ xét hàm số
Không có tiệm cận đứng và có tiệm cận ngang là y = 0 .
Do đó; z = 1.
Vậy z < x < y.
Câu 12: C
Ta có:
Do đó, để đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số thì:
Câu 13: D
Điều kiện để hàm số không suy biến là:
Khi đó; để đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì :
2m+ 4 = 0 ⇔ m = – 2 ( không thỏa mãn điều kiện).
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Câu 14: D
* Ta có:
Do đó; đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang là y = 1.
+ Ta có:
Câu 15: A
Điều kiện để hàm số không suy biến là:
+ Với điều kiện trên; đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = – 2.
+ Do
Vậy nếu
Câu 16: B
Điều kiện để hàm số không suy biến là:
Với điều kiện trên; đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 1.
Do đó, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là I ( 1; 1) ( là giao điểm của hai đường tiệm cận).
Câu 17: A
+ Điều kiện để hàm số không bị suy biến là:
+ Với điều kiện trên, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 và tiệm cận ngang là y = m.
Khi đó, tâm đối xứng của đồ thị hàm số là A( 2; m) là giao điểm của hai đường tiệm.
+ Do đó, để điểm I (2; 2) khi và chỉ khi m = 2.
Câu 18: D
+ Điều kiện để hàm số không bị suy biến là:
+ Với điều kiện trên; đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
+ Để điểm I (3;1) làm tâm đối xứng của đồ thị nên ta có:
Do đó; không có giá trị nào của m thỏa mãn đầu bài.
Câu 19: A
Dựa vào bảng biến thiên; đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3 và tiệm cận ngang là y = 5.
Hàm số có hai điểm cực trị là x = 1 và x = 2.
Chú ý: tại x = 1 đạo hàm của hàm số không xác định; đường thẳng x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 20: D
Ta có:
Do đó, đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận là x = 1; x = -1; x = 3 và x = – 3
Như vậy, bài viết đã Tổng Hợp Tất Cả Các Dạng Bài Tập Về Đường Tiệm Cận. Hy vọng sau khi làm những bài tập mà WElearn đã tổng hợp, các bạn có thể tự tin hơn về phần đường tiệm cận. Chúc bạn thành công nhé!
Xem thêm các bài viết liên quan
? Trung tâm gia sư WElearn chuyên giới thiệu, cung cấp và quản lý Gia sư.
? Đội ngũ Gia sư với hơn 1000 Gia sư được kiểm duyệt kỹ càng.
? Tiêu chí của chúng tôi là NHANH CHÓNG và HIỆU QUẢ. NHANH CHÓNG có Gia sư và HIỆU QUẢ trong giảng dạy.
Bài viết cùng chủ đề