Cách Giải Phương Trình Bậc 2

Phương trình bậc 2 là một trong những phần thường xuyên ra thi và kiến thức này cũng được dùng xuyên suốt quá trình học phổ thông. Vì vậy, bạn cần nắm vững kiến thức để khi lên lớp lớn đỡ phải vất vả hơn. Hiểu được điều đó, WElearn đã tổng hợp lại các công thức, trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2 là cách cách giải phương trình bậc 2 để các bạn có thể theo dõi và tham khảo

>>>> Xem thêm: Gia sư Lớp 9

1. Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng ax2+bx+c=0 (a≠0) (1).

Giải phương trình bậc 2 là đi tìm các giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình (1) thì thỏa mãn ax2+bx+c=0.

2. Cách giải phương trình bậc 2

Bước 1: Tính Δ=b2-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

• Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
• Δ = 0 => phương trình (1) có nghiệm kép 
• Δ > 0 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta dùng công thức nghiệm sau:

và 

3. Ví dụ giải phương trình bậc hai

Giải phương trình 4×2 – 2x – 6 = 0 (2)

Δ=(-2)2 – 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (2) đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

 và 

Bạn cũng có thể nhẩm theo cách nhẩm nghiệm nhanh, vì nhận thấy 4-(-2)+6=0, nên x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Nghiệm vẫn giống ở trên.

Giải phương trình 2×2 – 7x + 3 = 0 (3)

Tính Δ = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24= 25 > 0 => (3) có 2 nghiệm phân biệt:

 và 

Để kiểm tra xem bạn đã tính nghiệm đúng chưa rất dễ, chỉ cần thay lần lượt x1, x2 vào phương trình 3, nếu ra kết quả bằng 0 là chuẩn. Ví dụ thay x1, 2.32-7.3+3=0. Vậy, kết quả này đúng

4. Mẹo nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nhanh

Để nhẩm nhanh nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0), ta làm như sau:

• Nếu a+b+c=0 thì x1 = 1, x2 = c/a
• Nếu a-b+c=0 thì x1 = -1, x2 = -c/a

5. Cách giải phương trình bậc 2 nhanh chóng

Định lý Viet thuận.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

• Nếu a+b+c=0 thì (*) có 1 nghiệm x1=1 và x2=c/a
• Nếu a-b+c=0 thì (*) có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a

Định lý Viet đảo.

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

Khi đó, x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).

Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc và là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.

6. Cách giải phương trình bậc 2 bằng máy tính

Máy tính Casio 570VN PLUS

Bước 1: Để cho máy tính giải được phương trình bậc 2 thì bạn bấm máy như sau

Khi này màn hình hiện

• Bước 2: Nhập các hệ số a, b, c
• Bước 3: Bấm phím = thì màn hình máy tính hiện nghiệm của phương trình

Lưu ý: Sau mỗi lần nhập hệ số ta cần bấm phím =

Máy tính Casio 580VNX

Giải phương trình 

Bước 1 Nhấn phím MENU

Bước 2 Nhấn phím 9 để chọn phương thức Equation/Func

Bước 3 Chọn Polynomial để giải phương trình

Bước 4 Chọn bậc của phương trình

Ở đây mình cần giải phương trình bậc hai nên nhấn phím 2

Bước 5 Nhập hệ số thứ nhất => nhấn phím = => … => nhập hệ số cuối cùng => nhấn phím =

Bước 6 Nhấn phím =

Bước 7 Nhấn phím =

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là {2;1}

Ngoài ra nếu tiếp tục nhấn phím = chúng ta sẽ tìm được tọa độ điểm cực tiểu của hàm số (3/2;-¼)

7. Dạng bài tập về phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng 1: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số

Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1. x2-3x+2=0
2. x2+x-6=0

Hướng dẫn:

1. Δ=(-3)2-4.2=1. Vậy

Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý 

suy ra phương trình có nghiệm là x1=1 và x2=2/1=2

1. Δ=12-4.(-6)=25. Vậy

Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt sau:

Phương trình khuyết hạng tử.

Khuyết hạng tử bậc nhất: ax2+c=0 (1).

Phương pháp:

• 
• Nếu -c/a>0, nghiệm là:

• Nếu -c/a=0, nghiệm x=0
• Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.

Khuyết hạng tử tự do: ax2+bx=0 (2). Phương pháp:

Ví dụ 2:  Giải phương trình:

1. x2-4=0
2. x2-3x=0

Hướng dẫn:

1. x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
2. x2-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3

Phương trình đưa về dạng bậc 2.

Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):

Phương pháp

• Đặt t=x2 (t≥0).
• Phương trình đã cho về dạng: at2+bt+c=0
• Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

• Tìm điều kiện để phương trình xác định (Mẫu khác 0)
• Thực hiện quy đồng
• Giải phương trình và so với điều kiện

Chú ý:

• Phương pháp đặt  t=x2 (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ.
• Trong một số bài toán, bạn cần khéo léo đưa về dạng bậc 2. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x2+x, t=x2-1…

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1. 4x⁴-3x²-1=0
2. 

Hướng dẫn:

1. Đặt t=x2 (t≥0), lúc này phương trình trở thành:

4t²-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼

• t=1 ⇔ x²=1  ⇔ x=1 hoặc x=-1.
• t=-¼ , loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

1. Ta có:

Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.

Phương pháp:

• Tính Δ
• Dựa vào Δ để biện luận (có nghiệm, vô nghiệm, nghiệm kép)
• Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx2-5x-m-5=0 (*)

Hướng dẫn:

Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1

Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.

• 
• Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:

• Δ=0  ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
• Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài.

Phương pháp: Tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm

• Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
• Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn:

Hướng dẫn:

Để phương trình (*) có nghiệm thì:

Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

Mặt khác:

Theo đề:

Thử lại:

• Khi m=5, Δ=-7 <0 (loại)
• Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài.

Dạng 4: Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

Dạng 1: A = 1, B = Tổng, C = Tích

• Nếu phương trình có dạng x2 – (u+v)x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v.
• Nếu phương trình có dạng x2 + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và –v.

Tóm lại:

• x2 – (u+v)x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v (1)
• x2 + (u+v)x + uv = 0 => x1 = -u,x2 = -v

Ví dụ: 3x² – 4x + 1 = 0

Giải:

Nhận thấy vì a + b + c = 3 + (-4) + 1 = 0 => phương trình có nghiệm là: x1 = 1 và x2 = c/a = 1/3.

Dạng 2: A + B + C = 0 và A – B + C = 0

x² – (u+v)x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v (1)

• Nếu thay v = 1 vào (1) thì chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = -(u+1), c= u.
• Nếu thay v = -1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = -(u-1), c = -u.

Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

Nếu u ≠ 0 và v = 1/u thì phương trình (1) có dạng:

Khi đó, phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x= u, x = 1/u. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán.

Ví dụ phương trình:

• 2x² – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 2, x = 1/2
• 3x² – 10x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 3, x = 1/3

Dạng 5: Phân tích thành nhân tử

Phương trình bậc 2: ax² + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2, lúc nào bạn cũng có thể viết nó về dạng sau:

ax² + bx + c = a(x-x₁)(x-x2) = 0.

Trở lại với phương trình (2), sau khi tìm ra 2 nghiệm x1,x2 bạn có thể viết nó về dạng: 4(x-3/2)(x+1)=0.

Như vậy, bài viết đã tổng hợp Mách Bạn Cách Giải Phương Trình Bậc 2 Hay Và Nhanh Nhất. Hy vọng những phương pháp mà Trung tâm WElearn gia sư chia sẻ có thể giúp học tốt môn toán và đạt được những mục tiêu của mình nhé.

Xem thêm các bài viết liên quan

• Cách Tính Thể Tích Hình Trụ Chính Xác Nhất
• Công Thức Tính Diện Tích Hình Thoi Đầy Đủ Nhất
• Hướng Dẫn Ôn Thi Đại Học Môn Toán Hiệu Quả Nhất