Những Điều Bạn Chưa Biết Về Công Thức Bernoulli

Bernoulli là một nhà toán học nổi tiếng của thế kỷ 19. Ông để lại nhiều thành quả tuyệt vời mà ông đã để lại cho ngành toán học của thế giới. Hôm nay, chúng ta cùng tìm hiểu về Công Thức Bernoulli – Công thức làm nên tên tuổi của Ông nhé.

>>>> Xem thêm: Gia sư môn Toán

1. Tóm tắt lý thuyết

Phép thử được cho là độc lập khi: xác suất xảy ra biến cố nào đó trong phép thử không phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở phép thử khác hay không.

Ví dụ: tung một đồng xu nhiều lần, lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ 1 lô hàng,…

Khi tiến hành n phép thử, mỗi phép thử chỉ xảy ra 2 trường hợp:

• Biến cố A xảy ra với xác suất ở mỗi phép thử là p
• Biến cố A không xảy ra với xác suất ở mỗi phép thử là: 1 – p = q

Xác suất để trong n phép thử độc lập xảy ra biến cố A với đúng k lần ký hiệu là Pk(A) được tính theo công thức Bemoulli sau đây:

(k = 0, 1,2,…, n)

Chứng minh

Gọi Ai là biến cố “ở phép thử thứ i, A xảy ra” (i = 1, 2,…, n).

Khi đó biến cố “ở phép thử thứ i, A không xảy ra” là  

Gọi B là biến cố “trong n phép thử, A xảy ra đúng k lần”.

Trong trường hợp ở k phép thử đầu, A xảy ra và n-k phép thử sau A không xảy ra ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích:

Hoặc n-k phép thử đầu A không xảy ra, còn k phép thử cuối A xảy ra. Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng biến cố tích có dạng:

Tổng số các tích như vậy chính là số cách chọn k phép thử để biến cố A xảy ra, tức bằng

và biến cố B chính là tổng của những biến cố tích ấy.

2. Giả thuyết Bernoulli là gì?

Giả thuyết Béc-nu-li (Bernoulli hypothesis) được tìm ra bởi nhà toán học Daniel Bernoulli vào thế kỷ 19, được ra đời để giải thích cho “nghịch lý Xanh Pê-téc-bua”.

Giả thuyết này dùng để giải thích vấn đề vì sao người ta không thể rả các khoản tiền cực lớn để chơi trò chơi: Tung một đồng xu cho đến khi mặt ngửa xuất hiện,

Luật chơi như sau:

• Nếu mặt ngửa xuất hiện ở lần tung thứ hai, người chơi nhận được 2² đơn vị tiền thưởng (ví dụ là 4 đồng).
• Nếu mặt ngửa xuất hiện ở lần tung thứ 3, người chơi nhận được 2³ đơn vị tiền thưởng
• Nếu lần thứ tư người chơi nhận được 2∧4 đơn vị tiền thưởng…

Khi đó, tổng xác suất nhận tiền thưởng là 1, nhưng với số lần tung vô hạn, giá trị kỳ vọng của tiền thưởng cũng là một đại lượng vô hạn.

Như vậy, để chơi được trò này, mọi người phải đánh đổi một số tiền rất lớn. Vậy tại sao vẫn còn nhiều người chấp nhận trò chơi may rủi này? Bernoulli lập luận rằng người chơi bạc quan tâm đến ích lợi của phần thưởng hơn là bản thân tiền thưởng.

Theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần của thu nhập, Bernoulli chỉ ra rằng một trò chơi có thể có giá trị kỳ vọng bằng tiền vô hạn, nhưng có giá trị kỳ vọng bằng lợi ích lại hữu hạn nên mọi người quan tâm đến giả thuyết này vì nó đã thực hiện một việc “nhiệm màu” là “thay thế mục tiêu bằng sự tối ưu hóa lợi ích

Bởi vậy mọi người quan tâm tới giả thuyết này trước hết vì nó là nỗ lực đầu tiên trong việc thay thế mục tiêu tính bằng tiền bằng sự tối ưu hóa lợi ích trong điều kiện có rủi ro hay tính bất định.

3. Công thức Bernoulli

Điều kiện để sử dụng được công thức Bernoulli

• Các phép thử độc lập với nhau
• Kết quả của phép thử phải là A hoặc không A
• Xác suất của A hoặc không A trong mỗi trường hợp là như nhau

• n: số lần thực hiện phép thử
• k: số lần mong muốn xảy ra biến cố A
• p: xác suất xảy ra biến cố A
• q: xác suất xảy ra biến cố không A

4. Mở công thức Bernoulli

Số lần xuất hiện chắc chắn nhất

Trong đó

• Pn(k+1) > Pn(k) khi (n – k )p > (k+1)(p – 1)
• Pn(k+1) = Pn(k) khi k = np + p – 1
• Pn(k+1) > Pn(k) khi K > np + p – 1

Khi k tăng từ 0 đến n, hàm Pn (k) lúc đầu tăng theo đó sau đó đạt cực đại và giảm dần

Như vậy, bài viết đã Những Điều Bạn Chưa Biết Về Công Thức Bernoulli. Hy vọng những kiến thức mà Trung tâm gia sư WElearn chia sẻ có thể giúp ích cho bạn trong việc học tốt môn toán hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan

• Hé Lộ Tất Cả Các Cách Tính Diện Tích Hình Bình Hành
• Tổng Hợp Tất Cả Các Công Thức Lượng Giác Phải Biết
• Công Thức Tính Lãi Kép | Cách Tính Lãi Suất Tiết Kiệm Ngân Hàng