Công Thức Và Bài Tập Về Đạo Hàm Chi Tiết Nhất

Đạo hàm là một trong những kiến thức quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi, để kiểm tra và kể cả đề thi tốt nghiệp THPT. Vì vậy, nếu không nắm rõ những kiến thức cơ bản cũng nhưng những công thức thường gặp, bạn sẽ rất khó để vượt qua những bài thi đó. Hiểu được những khó khăn của học sinh khi mới bắt đầu học tính đạo hàm, WElearn gia sư đã tổng hợp lại tất các các công thức đạo hàm thường gặp, các quy tắc của đạo hàm, cách tính đạo hàm bằng máy tính và đặc biệt là các dạng bài tập về đạo hàm thường gặp. Các bạn cùng theo dõi nhé!

>>>> Xem thêm: Gia sư dạy môn Toán

1. Định nghĩa đạo hàm

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), x0 ∈ (a;b). Khi x → x₀, giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số    là đạo hàm của hàm số đã cho tại x₀.

Kí hiệu là f'( x₀) hay y'( x₀). Như vậy: f'( x₀ ) =  

Nếu đặt x – x0 = ∆x và ∆y = f(x0+∆x) – f(x0) thì ta có

                      f'(x₀) =  

Đại lượng ∆x được gọi là số gia của đối số tại x₀ và đại lượng ∆y được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

2. Quy tắc cơ bản của đạo hàm

3. Công thức đạo hàm

3.1. Đạo hàm cơ bản

3.2. Đạo hàm của hàm hợp

Cho hàm số y = f(u) với u = u(x) thì ta có: y′_u=y′_u.u′_x

3.3. Đạo hàm cấp cao

3.4. Bảng đạo hàm lượng giác

3.5. Công thức đạo hàm logarit

3.6. Công thức đạo hàm số mũ

3.7. Đạo hàm của một số phân thức hữu tỉ

4. Cách tính đạo hàm bằng máy tính

Để thực hiện tính đạo hàm bằng máy tính, bạn thực hiện các bước sau:

5. Các dạng bài toán liên quan đến công thức đạo hàm

5.1. Dạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x= x₀ <=> f'(x₀⁺)=f'(x₀^–)

Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.

Ví dụ 1:  f(x) = 2x³+1 tại x=2

=> f'(2) = 24

5.2. Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức về đạo hàm

Ví dụ 1: Cho y = e^−x.sinx, chứng minh hệ thức y”+2y′+ 2y = 0

Bài giải :

Ta có y′=−e^−x.sinx + e^−x.cosx

y′ =−e^−x.sinx+e−x.cosx

y”=e^−x.sinx−e^−x.cosx−e^−x.cosx−e^−x.sinx = −2e^−x.cosx

Vậy y”+ 2y′+ 2y = −2.e^−x.cosx− −2.e^−x.sinx + 2.e^−x.cosx + 2.e^−x.sinx =0

5.3. Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y= f(x) tại tiếp điểm M( x₀;y₀) có dạng:

Ví dụ: Cho hàm số y= x³+3mx² + ( m+1)x + 1 (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x = -1 đi qua điểm A( 1;2).

Tập xác định D = R

y’ = f'(x)= 3x² + 6mx + m + 1

Với x₀ = -1 => y₀ = 2m -1, f'( -1) = -5m + 4

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M( -1; 2m – 1) : y= ( -5m + 4 ) ( x+1) + 2m -1 (d)

Ta có A ( 1;2) ∈ (d) <=> ( -5m + 4).2 + 2m – 1 = 2  => m = 5/8

5.4. Dạng 4: Viết phương trình tiếp khi biết hệ số góc

Viết PTTT Δ của ( C ) : y = f( x ), biết Δ có hệ số góc k cho trước

Gọi M( x₀;y₀) là tiếp điểm. Tính y’ => y'(x₀)

Do phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k => y’ = ( x₀) = k (i)

Giải (i) tìm được x₀ => y₀= f(x₀) => Δ : y = k (x – x₀)+ y₀

Lưu ý:Hệ số góc k = y'( x₀) của tiếp tuyến Δ thường cho gián tiếp như sau:

Ví dụ: Cho hàm số y=x³+3x²-9x+5 ( C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( C ), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Ta có y’ = f'( x ) = 3x² + 6x – 9

Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f'( x₀) = 3 x₀² + 6 x₀ – 9

Ta có 3 x₀² + 6 x₀ – 9 =3 ( x₀² + 2x₀ +1) – 12 = 3 (x₀+1)²– 12 > – 12

Vậy min f( x₀)= – 12 tại x₀ = -1 => y₀=16

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm: y= -12( x+1)+16 <=> y= -12x + 4

5.5. Dạng 5: Phương trình và bất phương trình có đạo hàm

Như vậy, bài viết đã tổng hợp lại tất cả những Công Thức Và Bài Tập Về Đạo Hàm Chi Tiết Nhất để giúp bạn giải quyết các bài tập liên quan đến đạo hàm trong nháy mắt. Hy vọng những kiến thức mà chúng mình chia sẻ có ích cho việc học của bạn. Chúc bạn thành công nhé!

Xem thêm các bài viết liên quan:

• Cách Xác Định Tâm Đối Xứng Của Đồ Thị Hàm Số Bậc 3
• Cách Tính Số Phức Mũ Cao – Toán 12
• Top 10 Nhà Toán Học Việt Nam Nổi Tiếng Và Thành Công Nhất