Công Thức Nguyên Hàm Từng Phần & Bài Tập Ví Dụ

16.04.2022

WElearn Wind

Rate this post

Nguyên hàm là phần thường xuyên ra thi nhất. Vì vậy, nếu không nắm chắc kiến thức, bạn sẽ rất dễ bị nhầm lẫn và mất điểm oan. Hiểu được điều đó, hôm nay, WElearn đã tổng hợp cho bạn các công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất để bạn có thể tham khảo.

>>>> Xem thêm: Gia sư Lớp 12

1. Nguyên hàm từng phần là gì

Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng phần: ∫udv = uv−∫vdu.

Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.

2. Công thức nguyên hàm từng phần

Công thức nguyên hàm từng phần được biểu diễn như sau:

∫udv = uv−∫vdu.

Trong đó: u và v là 2 trong 4 hàm số logarit, đa thức, lượng giác hoặc hàm số mũ.

3. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Thực hiện các bước sau để tính nguyên hàm từng phần

Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng $I=\int{f(x).g(x)dx}$ .
Bước 2: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=f(x)\\dv=g(x)dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=f'(x)dx\\v=\int{g(x)dx}\end{array} \right.$ (chọn là một nguyên hàm của).
Bước 3: Khi đó $I=\int{udv}=uv-\int{vdu}$ .

Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm số

Bài giải: Đặt

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có

4. Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp

5. Lưu ý khi sử dụng công thức nguyên hàm từng phần

Khi I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ. Thì ta đặt u theo quy tắc

Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)
Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)

Nghĩa là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt hàm số đó là u. Ví dụ

Nếu

f(x) là hàm log, g(x) là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt

Tương tự nếu f(x) là hàm mũ, g(x) là hàm đa thức, ta sẽ đặt

Khi tính tích phân từng phần, số lần thực hiện tích phân từng phần thụ thuộc và bậc của hàm log và đa thức. Ví dụ

Nếu trong biểu thức tích phân có thì phải tích phân từng phần n lần.
Nếu trong biểu thức tích phân có đa thức bậc n: (không có hàm logarit) ==> thì cũng phải tích phân từng phần n lần.

6. Các nguyên hàm thường gặp và bài tập ví dụ

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit

Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau với f(x) là một hàm của đa thức.

Phương pháp giải

Đặt

Để bạn hiểu rõ hơn về dạng này, chúng ta cùng nhau làm 1 ví dụ sau đây nhé:

Ví dụ:

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương pháp giải ở trên bạn dễ thấy

Đặt

Thao vào hàm số ta có

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ với f(x) là một hàm đa thức.

Phương pháp

Đặt

Ví dụ

Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau

Lời giải: Đặt

Thay vào hàm số, ta có

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác

Phương pháp

Đặt

Ví dụ:

Hãy tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau A=∫xsinxdx

Lời giải: Đặt

Thay vào đề bài, ta có

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Hãy tính nguyên hàm kết hợp giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ

Phương pháp

Đặt

Ví dụ

Hãy tính nguyên hàm của hai hàm là hàm lượng giác và hàm e mũ sau đây

Bài giải: Đặt

Khi đó, nguyên hàm trở thành:

Tiếp tục nguyên hàm từng phần J ta có

Khi đó:

7. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 (Chuyên Vinh 2017 Lần 3) Cho hàm số thỏa mãn $f'(x)=(x+1){{e}^{x}}$ và $\int{f(x)dx}=(ax+b){{e}^{x}}+c$ với là các hằng số. Khi đó:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải:

$f'(x)=(x+1){{e}^{x}}\Rightarrow f(x)=\int{(x+1){{e}^{x}}dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=x+1\\dv={{e}^{x}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=dx\\v={{e}^{x}}\end{array} \right.\Rightarrow f(x)$ $=(x+1){{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}d(x+1)}=(x+1){{e}^{x}}-{{e}^{x}}+c=x{{e}^{x}}+C$ .

Chọn $f(x)=x{{e}^{x}}$ ta có $\int{f(x)dx}=\int{x{{e}^{x}}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}{{u}_{1}}=x\\d{{v}_{1}}={{e}^{x}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{{u}_{1}}=dx\\{{v}_{1}}={{e}^{x}}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \int{f(x)dx=}x{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}=x{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C=(x-1){{e}^{x}}+C$ .

Do đó $a=1;\,b=-1\Rightarrow a+b=0$ . Chọn C.

Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm sau :

a) $I=\int{{{x}^{2}}\ln xdx}$ . b) $I=\int{{{e}^{x}}\sin xdx}$ . c) $I=\int{({{x}^{2}}+2x)\sin }xdx$ .

Lời giải:

a) $I=\int{{{x}^{2}}\ln xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\ln x\\dv={{x}^{2}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{{{x}^{3}}}{3}\end{array} \right.$ $\Rightarrow I=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\int{\frac{{{x}^{3}}}{3}.}\frac{dx}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\frac{{{x}^{3}}}{9}+C$ .

Nhận xét: Ngoài cách đặt như trên ta có thể làm trực tiếp như sau:

$I=\int{\ln xd\left( \frac{{{x}^{3}}}{3} \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\int{\frac{{{x}^{3}}}{3}d(\ln x)}}$ $=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\int{\frac{{{x}^{3}}}{3}.\frac{dx}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{3}\ln x-\frac{{{x}^{3}}}{9}+C}$ .

b) $I=\int{{{e}^{x}}\sin xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u={{e}^{x}}\\dv=\sin xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du={{e}^{x}}dx\\v=-\cos x\end{array} \right.$ $\Rightarrow I=-{{e}^{x}}\cos x+\int{\cos x.{{e}^{x}}dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}{{u}_{1}}={{e}^{x}}\\d{{v}_{1}}=\cos xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{{u}_{1}}={{e}^{x}}dx\\{{v}_{1}}=\sin x\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow I=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x-\int{\sin x.{{e}^{x}}dx}=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x+C-I\\\Rightarrow I=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x+C-I\\\Leftrightarrow 2I=-{{e}^{x}}\cos x+{{e}^{x}}\sin x+C\Leftrightarrow I=-\frac{1}{2}{{e}^{x}}\cos x+\frac{1}{2}{{e}^{x}}\sin x+C\end{array}$

Nhận xét: Nếu biểu thức cần tính nguyên hàm là tích của hàm số lượng giác và hàm số mũ thì có thể đặt tùy ý. Tuy nhiên trong quá trình tính sẽ gồm các vòng lặp, trong mỗi vòng lặp ta phải nhất quán việc đặt .

c) $\int{({{x}^{2}}+2x)\sin }xdx$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u={{x}^{2}}+2x\\dv=\sin xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=(2x+2)dx\\v=-\cos x\end{array} \right.$ $\Rightarrow I=-({{x}^{2}}+2x)\cos x+\int{\cos x.(2x+2)dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=2x+2\\dv=\cos xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=2dx\\v=\sin x\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow I=-({{x}^{2}}+2x)\cos x+(2x+2)\sin x-\int{\sin x.2dx}\\I=-({{x}^{2}}+2x)\cos x+(2x+2)\sin x+2\cos x+C\end{array}$

Nhận xét: Nếu hàm đa thức bậc thì phải thực hiện tích phân từng phần lần.

Ví dụ 3: Tìm $I=\int{\frac{x\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx$

A. $I=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+C$ . B. $I=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)+C$ .

C. $I=\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-x+C$ . D. $I=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-x+C$ .

Lời giải:

$I=\int{\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right).\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\\dv=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\\v=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\end{array} \right.$ .

Theo công thức tính nguyên hà, từng phần, ta có:

$I=\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-\int{dx}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}.\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)-x+C$

Chọn C.

Ví dụ 4: Kết quả của phép lấy nguyên hàm $I=\int{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx$ là

A. $I=\frac{x\sqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+\frac{a\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}{2}+C$ . B. $I=\frac{x\sqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+C$ .

C. $I=\frac{a\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}{2}+C$ . D. $I=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right)+C$ .

Lời giải:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\sqrt{{{x}^{2}}+a}\\dv=dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx\\v=x\end{array} \right.$

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

$I=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-\int{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx}=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-\int{\frac{({{x}^{2}}+a)-a}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx}$

$=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-\int{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx+a\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}=x\sqrt{{{x}^{2}}+a}-I+a.J}$ (1)

Tính $J=\int{\frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}}$ .

Đặt $t=x+\sqrt{{{x}^{2}}+a}\Rightarrow dt=\left( 1+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}} \right)dx$ $=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+a}+x}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx=\frac{t}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}dx$ .

$\Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{{{x}^{2}}+a}}=\frac{dt}{t}$ .

Do đó $J=\int{\frac{dt}{t}=\ln |t|\,=\,\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}$ . (2)

Từ (1) và (2) ta có: $I=\frac{x\sqrt{{{x}^{2}}+a}}{2}+\frac{a\ln \left| x+\sqrt{{{x}^{2}}+a} \right|}{2}+C$ .

Chọn A.

Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin \left( \ln x \right)$ là hàm số

A. $F(x)=\frac{x\cos (\ln x)}{2}+C$ . B. $F(x)=\frac{x\sin x(\ln x)}{2}+C$ .

C. $F(x)=\frac{x\cos (\ln x)-x\sin (\ln x)}{2}+C$ . D. $F(x)=\frac{x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x)}{2}+C$ .

Lời giải:

Tính $F(x)=\int{f(x)dx}=\int{\sin (\ln x)dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\sin (\ln x)\\dv=dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{1}{x}\cos (\ln x)dx\\v=x\end{array} \right.$ .

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

$F(x)=x\sin (\ln x)-\int{\cos (\ln x)dx}=x\sin (\ln x)-J$ (1)

Xét $J=\int{\cos (\ln x)dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\cos (\ln x)\\dv=dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=-\frac{1}{x}\sin (\ln x)dx\\v=x\end{array} \right.$

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

$J=x\cos (\ln x)+\int{\sin (\ln x)dx}=x\cos (\ln x)+I$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$I=x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x)-I\Leftrightarrow 2I=x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x)$ .

$\Leftrightarrow F(x)=\frac{x\sin (\ln x)-x\cos (\ln x)}{2}+C$ .

Chọn D.

Như vậy, bài viết đã Tổng Hợp Các Công Thức Nguyên Hàm Từng Phần Chính Xác Nhất. Hy vọng những kiến thức mà Trung tâm gia sư WElearn chia sẻ có thể giúp ích cho bạn trong việc học tốt môn toán hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan

Bài viết cùng chủ đề

Tìm bài viết

Top bài viết

Bảng Động Từ Bất Quy Tắc Đầy Đủ Và Chính Xác Nhất (Có Phiên Âm)

14.10.2021

Trung Tâm Gia Sư Quận 1 Uy Tín

04.07.2021

Điểm Chuẩn Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TPHCM 2021

16.09.2021

Phương Pháp Dạy Bé Chuẩn Bị Vào Lớp 1

22.02.2022

Một Số Trường Đại Học Nổi Tiếng Chất Lượng Tại TP HCM

27.02.2022

Bài mới

Phương Pháp Học Tiếng Anh Hiệu Quả Cho Người Mới Bắt Đầu

06.10.2022

cách tính nhẩm nhanh cho phép nhân 2 chữ số

Các Cách Tính Nhẩm Nhanh Siêu Hay, Siêu Hiệu Quả

06.10.2022

Lợi Ích Của Tin Học Trong Học Tập, Công Việc Và Đời Sống

03.10.2022

Cách nói tiếng anh trôi chảy hiệu quả

Cách Nói Tiếng Anh Trôi Chảy, Nhanh, Hiệu Quả

01.10.2022

Phương Pháp Học Tiếng Anh Hiệu Quả Qua Hình Ảnh

01.10.2022

WELEARN GIA SƯ - GIA SƯ TẠI NHÀ, GIA SƯ ONLINE

WElearn gia sư chuyên dịch vụ gia sư tại nhà, gia sư online với đội ngũ gia sư chất lượng đáp ứng mọi yêu cầu bạn đưa ra với mức học phí phù hợp, phải chăng. WElearn liên kết với đội ngũ giáo viên, gia sư nhiều năm kinh nghiệm, kỹ năng sư phạm cao. WElearn giúp HỌC SINH YẾU học giỏi hơn và HỌC SINH GIỎI giữ vững phong độ.

Kết Nối Với Chúng Tôi

VỀ WELEARN

HOẠT ĐỘNG

DÀNH CHO
PHỤ HUYNH

DÀNH CHO GIA SƯ

WElearn Gia Sư

Địa chỉ: 38 Đ. Số 23, Linh Chiểu, Thủ Đức, Thành phố Hồ Chí Minh.
Hotline: 0789882291
Mail: welearnvietnam@gmail.com
© Công Ty TNHH WElearn Việt Nam
Mã số thuế: 0315809034 bởi Sở Kế hoạch và Đầu tư Thành Phố Hồ Chí Minh, ngày có hiệu lực 23/07/2019

Hotline:0789.88.22.91