Tích Phân Là Gì? Các Công Thức Tích Phân Thường Gặp

Tích phân là phần thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học. Nếu không nắm chắc kiến thức, bạn sẽ rất dễ mất điểm oan. Vì vậy, WElearn đã tổng hợp lại các công thức tích phân chính xác và đầy đủ nhất để bạn có thể tham khảo. Cùng theo dõi nhé!

>>>> Xem thêm: Gia sư môn Toán

1. Lý thuyết công thức tích phân

Khái niệm tích phân

Là phép toán ngược với đạo hàm.

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số:

F(b) – F(a)

Được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu:

Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi 

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a; b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục; không âm trên đoạn [a;b]. Khi đó, diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b là:

Tính chất tích phân

Giả sử cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có :

Dấu tích phân

Nếu ∑ là ký hiệu của “tổng” hữu hạn hay vô hạn thì ∫ là ký hiệu của tổng hữu hạn các diện tích vô cùng nhỏ. Nó là sự kéo dài của dấu “?” và là viết tắt của chữ Sum (Tổng)

Tích phân hằng số

Tích phân hằng số có dạng ∫???=??+? . Khi đó, ? và ? là các hằng số.

Tích phân lũy thừa của 𝒙

Tích phân lũy thừa có dạng

Biểu thức có nghiệm khi ? khác 1

2. Công thức tích phân cơ bản

Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ở dạng tích phân này, phương pháp chung là phá dấu gá trị tuyệt đối tuyệt đối hàm

f(x) trên từng khoảng nhỏ nằm trong khoảng (a;b)  rồi tính lần lượt các tích phân đó.

Công thức tích phân có dấu giá trị tuyệt đối

Tích phân mở rộng

Tích phân lượng giác

Tích phân lượng giác có dạng:

trong đó R là hàm hữu tỉ của hai đối số. Ta có thể hữu tỉ hóa tích phân trên bằng cách đặt .

Khi đó,  

Do đó, có thể đưa ra tích phân I về dạng:

Tích phân xác định

• 𝐹(𝑥) là nguyên hàm của 𝑓(𝑥).
• 𝐹(𝑏) là giá trị nguyên hàm ứng với cận trên 𝑥 = 𝑏.
• 𝐹(𝑎) là giá trị nguyên hàm ứng với cận dưới 𝑥 = 𝑎.

Biểu thức này gọi là tích phân xác định.

Tích phân không xác định

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm f trên một khoảng I nào đó được gọi là tích phân không xác định của hàm này trên khoảng I và được kí hiệu là f (x) dx: 

•  trong đó A là hằng số
• 

Tích phân hàm số hữu tỉ

Các phân thức hữu tỉ đơn giản nhất là các phân thức có dạng

trong đó A,M,N,p,q là các số thực, k = 2,3,4…, còn tam thức bậc hai không có nghiệm thực, tức là .

Công thức tích phân các số hữu tỷ trên: 

4. Phương pháp phân tích

Với phương pháp này sẽ sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi các biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng của các hạng tử.

5. Phương pháp biến đổi từ công thức tính tích phân

Kiến thức cần nhớ

Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến t=u(x).

• Bước 1: Đặt t=u(x), đổi cận

• Bước 2:  Tính vi phân dt=u′(x)dx.
• Bước 3: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt.
• Bước 4: Tính tích phân

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến x=u(t).

• Bước 1: Đặt x=u(t), đổi cận

• Bước 2: Lấy vi phân 2 vế dx=u′(t)dt.
• Bước 3: Biến đổi f(x)dx=f(u(t)).u′(t)dt=g(t)dt.
• Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức

6. Phương pháp tính tích phân từng phần

Công thức 

7. Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân của hàm số sau:

Phương pháp:

Bước 1: Đặt

Bước 2: Tính tích phân theo công thức

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.

Tính tích phân của đa thức sau (f(x) là đa thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt

Bước 2: Tính tích phân theo công thức

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính tích phân 

Phương pháp:

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính tích phân

Phương pháp

Bước 1: Đặt

Bước 2: Tính tích phân theo công thức

8. Phương pháp vi phân

9. Ứng dụng tích phân

Ứng dụng Công

Trong vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển, ví dụ như lái xe đạp.

Nếu có một lực biến thiên, thay đổi, ta dùng tích phân để tính công sinh ra bởi lực này. Ta dùng:  với F(x) là lực.

Ứng dụng giá trị trung bình

Giá trị trung bình của hàm 𝑓(𝑥) trong miền 𝑥 = 𝑎 đến 𝑥 = 𝑏 được xác định bởi: Trung bình = 

Ứng dụng quãng đường

Nếu ta biết biểu thức vận tốc 𝑣 theo thời gian 𝑡, ta có thể biết quãng đường 𝑠 của một vật thể khi đi từ thời gian 𝑡 = 𝑎 đến 𝑡 = 𝑏 bằng tích phân như sau:

Ứng dụng tính diện tích

Diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: 

– Nếu trên đoạn [a;b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: 

Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

a. Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm a (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Thể tích của B là:

b. Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số y = f(x) liên tục; không âm trên [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích của nó là:

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục tung và hai đường thẳng y = c; y = d quay quanh trục Oy là:

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox:

10. Bài tập tích phân

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=(1-x2 ), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox.

Hướng dẫn:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường

y = (1-x2), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox là:

Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√x; y=x quay quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay tạo.

Hướng dẫn:

Giải phương trình √x = x ⇔ x ∈ {0;1}.

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y=√x;y=x khi quay quanh trục Ox là

Bài 3: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4 là:

Một số bài tập Tích Phân dạng trắc nghiệm tham khảo:

Câu 1: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] và c thuộc [a ; b]. Tìm mệnh đề đúng

trong các mệnh đề sau.

Câu 2: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoàng K và a, b, c \in K. Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu 3: Cho hàm số f(t) liên tục trên K và a,b thuộc K, F(t) là một nguyên hàm của f(t) trên K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

Câu 4: Cho hai tích phân  và . Giá trị của tích phân là:

A. m-n.

B. n-m.

C. m+n.

D. Không thể xác định.

Câu 5: Cho tích phân  và . Tích phân  có giá trị là:

A. m+n.

B. m-n

C. -m-n.

D. Không thể xác định.

Câu 6: Tích phân  được phân tích thành:

Câu 7: Cho . Tính tích phân 

A. -9.

B. -3.

C. 3 .

D. 5 .

Như vậy, bài viết đã giúp bạn Làm Chủ Môn Toán Với Các Công Thức Tích Phân Đầy Đủ Nhất. Hy vọng những kiến thức mà Trung tâm gia sư WElearn chia sẻ có thể giúp ích cho bạn trong việc học tốt môn toán hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan

• Làm Chủ Toán Học Với Công Thức Logarit
• Cách Tính Số Phức Mũ Cao – Toán 12
• Các Công Thức Hình Học 12 Từ Căn Bản Tới Nâng Cao