Hình thoi là một trong những phần quan trọng trong chương trình lớp 9 và rất thường xuất hiện trong các bài thi. Vì vậy, nếu nắm không vững kiến thức sẽ rất dễ bị nhầm lẫn với các hình khác. Do đó, Trung tâm gia sư WElearn đã tổng hợp lại tất cả những định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình thoi, cách chứng minh cũng như các bài tập liên quan để giúp bạn hiểu rõ hơn về các công thức của hình thoi. Cùng theo dõi nhé!
1. Hình thoi là gì?
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Là hình bình hành đặc biệt với hai cạnh kề bằng và hai đường chéo vuông góc với nhau.
2. Tính chất hình thoi
Vì hình thoi cũng là hình tứ giác và là hình bình hành nên có những tính chất sau:
- Các góc đối nhau bằng nhau.
- Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
- Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành.
3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi
Hình thoi có 4 dấu hiệu nhận biết sau
- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
- Hình bình hành cá hai cạnh kề bằng nhau
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau
- Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của 1 góc.
4. Cách chứng minh hình thoi
Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thoi, ta có các cách chứng minh sau:
4.1. Cách 1: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
Ví dụ: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.
Xét tam giác AHE và tam giác BFE có
- Góc A = Góc B
- EA = EB (E là trung điểm AB)
- AH = BF (H, F là trung điểm của AD và BC mà AD = BC do ABCD là HCN)
=> Tam giác AHE = Tam giác BFE (c.g.c) => EH = EF (1)
Chứng minh tương tự có: HG = GF (2)
Xét tam giác AHE và tam giác DHG có
- Góc A = góc D = 90 độ
- HA = HD (H là trung điểm AD)
- AE = DG (E, G là trung điểm của AB và DC mà AB = DC do ABCD là HCN
=> Tam giác AHE = Tam giác DHG (c.g.c) => EH = HG (3)
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra EH = EF = HG = GF
⇒ Tứ giác EFGH là hình thoi do có bốn cạnh bằng nhau.
4.2. Cách 2: Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh tư giác ABEC là hình thoi.
Ta có:
ΔABC cân tại A có trung tuyến AM
⇒ AM là đường trung trực của BC
⇒ Tứ giác ABEC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau.
4.3. Cách 3: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
Ví dụ: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: IMNK là hình thoi.
Lời giải:
M là trung điểm của BE và I là trung điểm của DE
⇒ MI là đường trung bình của ΔBDE
⇒ MI // BD và MI = 1/2 BD
Chứng minh tương tự, ta có:
NK // BD và NK= 1/2 BD
Do có MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành (4)
Chứng minh tương tự, ta có: IN là đường trung bình của ΔCDE
⇒ IN = 1/2 CE mà CE = BD (gt) => IN = IM (5)
Từ (4) và (5) ⇒ Tứ giác MINK là hình thoi do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
4.4. Cách 4: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc
Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác ΔAOB; ΔBOC; ΔCOD và ΔDOA là đỉnh của một hình thoi.
Lời giải chi tiết:
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.
Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.
Xét ΔBMO và ΔDPO có:
Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( đối đỉnh ) và OB = OD (gt)
=> ΔBMO = ΔDPO (g. c. g)
=> OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (6)
Chứng minh tương tự: ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (7)
Từ (6) và (7) Suy ra: Tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)
Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON. (9)
Từ (8) và (9) suy ra: MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.
5. Các công thức liên quan đến hình thoi
Diện tích hình thoi: Nửa tích độ dài 2 đường chéo
Chu vi hình thoi: Tổng độ dài tất cả các cạnh của hình thoi
6. Phương pháp làm bài tập hình thoi hiệu quả
Để làm tốt những bài tập về hình thoi, bạn cần nắm vững các kiến thức cơ bản về hình thoi như dấu hiệu nhận biết, tính chất để áp dụng vào bài tập.
Ngoài ra, bạn cũng cần hiểu và vận dụng được kiến thức của hình bình hành. Vì hình thoi cũng là một hình bình hành nên tất các các tính chất của hình bình hành cũng được áp dụng cho hình thoi.
7. Bài tập về hình thoi
Bài 1: Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.
Hướng dẫn giải:
Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng.
Hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình.
Bài 2: Cho hình thang cân ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thoi.
Hướng dẫn giải:
Trong Δ ABC, MN là đường trung bình nên ta có MN = ½ AC và MN // AC (1).
Tương tự trong tam giác ACD có: PQ = ½ AC và PQ // AC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ MN = PQ và MN // PQ
Do vậy MNPQ là hình bình hành (3)
Xét Δ ABD ta có: MQ là đường trung bình ⇒ MQ = ½ BD
Vì ABCD là hình thang cân nên AC = BD
Từ đó suy ra MN = MQ (4)
Từ (1), (2), (3), (4) ⇒ MNPQ là hình thoi.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng song song với AC và cắt AB tại P và đường thẳng song song với AB cắt AC tại Q.
- Tứ giác APMQ là hình gì? Vì sao?
- Chứng minh PQ // BC
Hướng dẫn giải:
1. Xét Δ ABC có
M là trung điểm của BC (AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC trong ΔABC).
⇒ MP//AC (1)
Do đó: P là trung điểm của AB (Định lí 1 về đường trung bình của tam giác).
⇒ AP = ½ AB (2)
Ta có: Δ ABC cân tại A (gt)
⇒ AB = AC (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ AP = AQ
Xét tứ giác APMQ có:
MP // AQ (MP // AC, Q ∈ AC)
MQ // AP (MQ // AB, P ∈ AB)
Do đó: APMQ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành APMQ có AP = AQ (cmt)
⇒ APMQ là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau)
2. Ta có;
PQ ⊥ AM
AM ⊥ BC (tính chất tam giác cân)
⇒ PQ // BC
Như vậy, WElearn đã tổng hợp lại Tất Tần Tật Các Dấu Hiệu Nhận Biết Hình Thoi Không Thể Bỏ Qua. Hy vọng những kiến thức mà bài viết chia sẻ có thể giúp ích cho bạn trong việc cải thiện môn toán của mình.
Môn Toán thường được xem là một môn học khá thách thức đối với nhiều em học sinh. Do đó, để giúp các em vượt qua những khó khăn và tiếp cận môn học một cách hiệu quả, việc tìm kiếm gia sư toán dạy kèm tại nhà là một ý tưởng không tệ. Với sự hỗ trợ của gia sư, các em sẽ có cơ hội được giải đáp mọi thắc mắc, hiểu rõ từng bước giải và rèn luyện kỹ năng làm bài tập. Nếu quý PHHS hay các em học sinh đang có ý định tìm gia sư dạy kèm toán tại nhà thì hãy liên hệ WElearn theo thông tin bên dưới để book gia sư toán miễn phí nhé!
- Hotline: 0906782291
- Facebook: https://www.facebook.com/welearngiasu
- Gmail: welearnvietnam@gmail.com
- Website: https://welearnvn.com/
