Định Lý Viet | Ứng Dụng Định Lý Vi-Ét Trong Giải Toán

Định lý Viet là phần thường xuyên ra thi tuyển sinh lớp 9 lên lớp 10. Và những câu có áp dụng định lý này chiếm số điểm không hề nhỏ. Vì vậy, bạn cần học thật vững phần này để có thể có được kết quả tốt trong kỳ thi. Hiểu được điều đó, WElearn đã tổng hợp các công thức liên quan đến định lý Viet để có thể giúp bạn hệ thống lại kiến thức cũng như vận dụng nó thật tốt vào bài học.

>>>> Xem thêm: Gia sư Lớp 12

1. Định lý Viet – Lý thuyết quan trọng.

1.1. Định lý Viet thuận.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

• Nếu a+b+c=0 thì (*) có 1 nghiệm x1=1 và x2=c/a
• Nếu a-b+c=0 thì (*) có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a

1.2. Định lý Viet đảo.

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

Khi đó, x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).

Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc và là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.

2. Định lý viet bậc 2 và bậc 3, bậc 4

2.1. Định lý viet bậc 2

Công thức Vi-ét thể hiện theo phương trình bậc 2 có dạng như sau nếu 2 nghiệm của phương trình lần lượt là x1 và x2, ta có công thức:

Ax2 + bx + c = 0 điều kiện a # 0 thì ta có  = S = -b/a và x1.x2 = P = c/a

2.2. Định lý viet bậc 3

Phương trình Ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 khi đó:

2.3. Định lý Viet bậc 4

Nếu phương trình bậc ba: (a≠0) có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thì:

Trong đó:

• Với x là ẩn số; x1 x2 x3 x4 là nghiệm của phương trình
• a, b, c, d, e là các số đã biết sao cho a≠0; a, b, c, d, e là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x
• a là hệ số bậc bốn
• b là hệ số bậc ba
• c là hệ số bậc hai
• d là hệ số bậc một
• e là hằng số hay số hạng tự do

2.4. Phương trình đa thức bất kỳ

Phương trình đa thức bất kỳ có dạng: 

Cho x1, x2, x3,…, xn là n nghiệm của phương trình đa thức ở trên, ta có công thức như sau:

Do đó, công thức Vi-ét sẽ là kết quả của phép tính ở vế phải và ta được:

Theo đó, trong hàng k bất kỳ, ta sẽ có đẳng thức  sẽ là vế phải còn vế trái sẽ là:

Ví dụ về phương trình bậc 3 cho x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình: ax3 + bx2 + cx + d = 0

Khi chia cả 2 vế cho a3 tức a ở cả 2 về của phương trình và chuyển dấu trừ (nếu có) sang về phải thì công thức Vi-et là:

3. Các dạng bài tập ứng dụng định lý Viet.

3.1.  Ứng dụng hệ thức Viet tìm hai số khi biết tổng và tích.

Nếu 2 số u và v thỏa mãn:

thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: 

Như vậy, việc xác định hai số u, v sẽ quay về bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:

• Nếu S2-4P≥0 thì tồn tại u,v.
• Nếu S2-4P<0 thì không tồn tại số nào thỏa mãn.

Ví dụ: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh.

Hướng dẫn:

Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có:

Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0.

Giải phương trình trên được x1=2a, x2=a (do x1>x2)

Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a, chiều rộng là a.

3.2. Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng.

Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:

Nếu f là một biểu thức đối xứng, nghĩa là nó luôn tồn tại cách biểu diễn qua biểu thức đối xứng thì S=x1+x2, P=x1x2

Một số biểu diễn quen thuộc:

Ví dụ: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi:

Hãy chứng minh:

Hướng dẫn:

3.3. Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số.

Để giải quyết bài toán có tham số, ta cần

• Điều kiện cần: Phương trình phải có nghiệm
• Điều kiện đủ: Là phương trình bậc 2

Để xét các điều kiện, ta lập các hệ thức liên quan đến x1, x2 và sử dụng các công thức được suy ra từ định lý Viet để tính và tìm tham số.

Ví d: Cho phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m).

Hãy xác định giá trị của tham số để:

1. Có đúng 1 nghiệm âm.
2. Có 2 nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn:

Nhắc lại kiến thức:

Đặc biệt, do ở hệ số a có chứa tham số, vì vậy ta cần xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: a=0⇔m=0

Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất.

Trường hợp 2: a≠0⇔m≠0

Lúc này, điều kiện là:

3.5. Thiết Lập Phương Trình Bậc 2

Dựa trên cơ sở của định lý Vi-et, ta thiết lập phương trình bậc 2 có nghiệm là x1, x2 khi x1+x2=S; x1.x2=P (Dựa vào định lý Viet đảo)

3.6. Xét Dấu Các Nghiệm

Dựa vào định lý Viet, ta có thể xét dấu các nghiệm bằng cách:

3.7. Chứng minh bất đẳng thức

Dựa vào công thức liên hệ giữa 2 nghiệm (thông thường các dữ kiện của bài toán thường đưa về được dưới dạng tổng và tích) của phương trình khi áp dụng Định lý Viet, ta có thể chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ

3.8. Xét Dấu Các Nghiệm

Sử dụng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 (với a ≠ 0) dựa trên các kết quả sau:

Ngoài ra áp dụng định lí Vi-ét ta có thể so sánh được nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước.

Ví dụ: Cho phương trình x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

Lời giải

3.9. Ứng dụng vào bài toán tiếp tuyến

Để thực hiện tìm tiếp tuyến qua định lý Viet, bạn thực hiện:

• Xác định tọa độ điểm tiếp xúc – > thường là nghiệm của một phương trình bậc 2 có thể áp dụng định lý Viet
• Dùng định lý Viet để tìm nghiệm và xác định tọa độ điểm tiếp xúc
• Viết phương trình tiếp tuyến

Ví dụ:

3.10. Tương giao của 2 đồ thị và tập hợp điểm.

Để thực hiện tìm sự tương giao giữa 2 đồ thị, bạn cần thực hiện:

• Viết phương trình hoành độ giao điểm
• Đưa biểu thức về các dạng có liên quan đến định lý Viet
• Kết hợp và giải ra nghiệm
• Kết luận sự tương giao giữa 2 đồ thị

Ví dụ:

3.11. Ứng dụng của 1 hệ thức truy hồi

Ví dụ

3.12. Giải phương trình, hệ phương trình

Ví dụ: Giải phương trình 

Lời giải

3.13. Tìm cực trị hàm số

Để tìm cực trị của hàm số bằng định lý Viet, bạn cần thực hiện

• Xác định tọa độ điểm cực nghị là nghiệm đúng của phương trình nào
• Dựa vào định lý Viet để giải phương trình. Chú ý điều kiện để sử dụng định lý Viet nhé!

Ví dụ:

Như vậy, bài viết đã tổng hợp Định Lý Viet | Ứng Dụng Định Lý Vi-Ét Trong Giải Toán. Hy vọng những phương pháp mà Trung tâm WElearn gia sư chia sẻ có thể giúp học tốt môn toán và đạt được những mục tiêu của mình nhé.

Xem thêm các bài viết liên quan

• Cách Tính Thể Tích Hình Trụ Chính Xác Nhất
• Công Thức Tính Diện Tích Hình Thoi Đầy Đủ Nhất
• Hướng Dẫn Ôn Thi Đại Học Môn Toán Hiệu Quả Nhất