Cách Xác Định Tâm Đối Xứng Của Đồ Thị Hàm Số Bậc 3

Cách xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3 là phần khá quan trọng trong chương trình Toán 12 vì nó thường xuyên nằm trong đề thi ĐH. Hãy cùng WElearn tìm hiểu về nó nhé!

>>>> Xem thêm: Gia sư dạy môn Toán

1. Hàm số bậc 3

1.1. Hàm số bậc 3 là gì?

Hàm số bậc 3 là hàm số có dạng y= ax³ + bx² + cx + d   (a≠0)

Tập xác định D = R

1.2. Khảo sát đồ thị hàm số bậc 3

Cho hàm số bậc 3 dạng:  y= ax³ + bx² + cx + d   (a≠0)

• Tập xác định: D=R
• Khảo sát tính biến thiên của hàm số
  • Tính đạo hàm y’
  • Giải phương trình y’=0.
  • Xét dấu y’, từ đó suy ra tính biến thiên của hàm số.
• Tìm giới hạn của hàm số (Chú ý: hàm bậc ba và các hàm đa thức không có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.)
• Vẽ bảng biến thiên theo số liệu đã tính ở trên.
• Vẽ đồ thị hàm số: ta tìm các điểm đặc biệt nằm trên đồ thị, thường là giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hoành.
• Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc 3 nhận 1 điểm làm tâm đối xứng (nghiệm của phương trình y”=0) và cũng là điểm uốn của đồ thị.

1.3. Dạng đồ thị hàm số bậc 3

Cho hàm ѕố bậᴄ 3 dạng: y= ax³ + bx² + cx + d   (a≠0)

Sau khi đạo hàm, хảу ra ᴄáᴄ trường hợp bên dưới:

2. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3

2.1. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gì?

Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D = R, đồ thị (C) và điểm I.

Nếu mọi điểm M thuộc (C) có qua I cũng thuộc (C). Khi đó điểm I được gọi là tâm đốι xứng của đồ thị hàm số y = f(x).

Từ đó cũng suy ra tâm đối xứng có thể nằm trên đồ thị hoặc không nằm trên.

2.2. Cách xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3

Để xác định tâm đối xứng của hàm số y = f(x) ta thực hiện các bước sau đây:

• Bước 1: Giả sử I(a, b) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số f(x). Thực hiện phép tịnh tiến trục tọa độ Oxy→IXY:
  • x=X+a
  • y=Y+b
• Bước 2: Viết công thức hàm số mới trong hệ tọa độ mới:
  • Ta được hàm số có dạng : Y+b=f (X+ a) ⇔ Y = g(X)
• Bước 3: Tìm a, b để hàm số g(X) là hàm số lẻ :
  • g(−X) = − g(X)

Khi đó ta chứng minh được đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) là tâm đối xứng

Tuy nhiên, với 1 bài toán trắc nghiệm ta làm vậy rất lâu. Vì thế, WElearn đã giúp bạn tổng hợp lại công thức nhanh nhất, giúp bạn giải quyết chúng trong nháy mắt

Cho hàm số bậc ba y=ax³+bx²+cx+d (a≠0) có đồ thị (C). Khi đó tâm đối xứng của (C) là điểm I(−b/3a;y(−b/3a)). Điểm I đồng thời là điểm uốn của (C).

Lưu ý: Đối với hàm số bậc 3, điểm uốn cũng là tâm đối xứng của đồ thị luôn. Như vậy một hàm số bậc 3 luôn có tâm đối xứng.

3. Điểm uốn của đồ thị hàm số

3.1. Điểm uốn của đồ thị hàm số là gì?

Cho hàm số y=f(x). Khi đó điểm U(x₀,y₀ ) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu tồn tại một khoảng (a,b) chứa điểm  x₀ sao cho trên một trong hai khoảng (a,x₀) và (x₀,b) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm U nằm phía trên đồ thị và trên khoảng còn lại tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.

3.2. Định lý về điểm uốn

Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp (2) trên một khoảng chứa điểm (x₀) thỏa mãn:

• f’’(x₀)=0
• f’’(x) đổi dấu khi đi qua điểm (x₀)

=> Điểm ( x₀ ,f( x₀)) là điểm uốn của đồ thị hàm số f(x).

Như vậy, muốn tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x), ta giải phương trình f”(x) = 0. Khi đó, nghiệm của phương trình là hoành độ của điểm uốn

3.3. Cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x)

Để tìm điểm uốn của ĐTHS y = f(x) ta thực hiện

• Tính đạo hàm cấp 1 f'(x) liên tục trên (a,b)
• Tính đạo hàm cấp 2 f”(x) liên tục trên (a,b) và áp dụng:
  • f’’(x₀)=0
  • Khi đi qua điểm x₀, f”(x) phải đổi dấu
  • Khi đó điểm (x₀ ,f( x₀)) là điểm uốn của đồ thị hàm số f(x).

Lưu ý: Tại điểm uốn f”(x) triệt tiêu hoặc có thể không xác định nhưng f'(x₀) phải xác định.

4. Bài tập vận dụng tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3

Câu 1: Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số sau: y = 2x³ – 6x + 3.

Giải

Giả sử hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng.
Với phép biến đổi toạ độ:

Khi đó hàm số có dạng: Y + b = 2(X + a)³ – 6(X + a) + 3
<=> Y = 2X³ + 6aX² + (6a – 6)X + 2a³ – 6a + 3 – b (1)

Hàm số (1) là lẻ

Vậy, hàm số có tâm đối xứng I(0; 3).

Câu 2: Tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = x³ +3x² – 9x +1

Giải

• y’ = 3x² + 6x – 9
• y’’ = 6x + 6
• y’’ = 0 ⇔⇔x = -1.

Thay x = -1 vào hàm số y = 12

Câu 3

Giải

5. Trung tâm gia sư ôn thi ĐH môn Toán

Các bạn đang mất gốc Toán 12? Bạn muốn học gia sư nhưng không biết đâu là nơi đáng để tin tưởng?

Vậy thì còn chần chờ gì nữa mà không đến với Trung tâm gia sư WELearn.

Chúng tôi triển khai rất nhiều dịch vụ dựa trên số đông yêu cầu của quý phụ huynh tại khu vực TPHCM:

• Gia sư dạy Toán lớp 1 tại nhà
• Gia sư Toán lớp 2, lớp 3, lớp 4, lớp 5
• Gia sư Toán cấp 2: lớp 6, lớp 7, lớp 8, lớp 9
• Gia sư Toán cấp 3 tại nhà
• Dạy Toán căn bản cho học sinh mất gốc, học lực trung bình – yếu – kém
• Nhận dạy kèm Toán nâng tại nhà cho học sinh khá giỏi thi trường chuyên

Bên cạnh đó gia sư WElearn còn dạy kèm tại nhà môn Toán kết hợp những môn khác nếu quý phụ huynh có nhu cầu:

• Gia sư Toán + tiếng Việt cho học sinh tiểu học
• Gia sư Toán + Lý cho học sinh lớp 6
• Dạy kèm Toán + Lý + Hóa cho học sinh thi khối A Đại Học
• Dạy kèm Toán + Tin cho học sinh thì trường chuyên THPT

Cùng rất nhiều dịch vụ gia sư khác theo nhu cầu học của các em học sinh.

Trên đây, Trung tâm gia sư WElearn đã tổng hợp những vấn đề cơ bản của việc xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3. Mong các bạn có thể hiểu và học tốt hơn.

Xem thêm các công thức khác

• Cách Tính Số Phức Mũ Cao – Toán 12
• Công Thức Tính Đồng Phân Anken Nhanh Và Chính Xác Nhất
• Cách Tính Số Mol HNO3 Phản Ứng Trong Phản Ứng Oxi Hóa Khử