Cách xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3 là phần khá quan trọng trong chương trình Toán 12 vì thường xuyên nằm trong đề thi Đại học. Hãy cùng trung tâm gia sư WElearn tìm hiểu nhé!
Tổng quan về hàm số bậc 3
Hàm số bậc 3 là gì?
Hàm số bậc 3 là hàm số có dạng y= ax3 + bx2 + cx + d (a≠0)
Tập xác định D = R
Khảo sát đồ thị hàm số bậc 3
Cho hàm số bậc 3 dạng: y= ax3 + bx2 + cx + d (a≠0)
- Tập xác định: D=R
- Khảo sát tính biến thiên của hàm số
- Tính đạo hàm y’
- Giải phương trình y’=0.
- Xét dấu y’, từ đó suy ra tính biến thiên của hàm số.
- Tìm giới hạn của hàm số (Chú ý: hàm bậc ba và các hàm đa thức không có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.)
- Vẽ bảng biến thiên theo số liệu đã tính ở trên.
- Vẽ đồ thị hàm số: ta tìm các điểm đặc biệt nằm trên đồ thị, thường là giao điểm của đồ thị với trục tung, trục hoành.
- Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc 3 nhận 1 điểm làm tâm đối xứng (nghiệm của phương trình y”=0) và cũng là điểm uốn của đồ thị.
Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3
Cho hàm ѕố bậᴄ 3 dạng: y= ax3 + bx2 + cx + d (a≠0)
Sau khi đạo hàm, хảу ra ᴄáᴄ trường hợp bên dưới:
Phương trình y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình y’=0 vô nghiệm
Phương trình y’=0 có nghiệm kép
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gì?
Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D = R, đồ thị (C) và điểm I.
Nếu mọi điểm M thuộc (C) có qua I cũng thuộc (C). Khi đó điểm I được gọi là tâm đốι xứng của đồ thị hàm số y = f(x).
Từ đó cũng suy ra tâm đối xứng có thể nằm trên đồ thị hoặc không nằm trên.
Cách xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3
Để xác định tâm đối xứng của hàm số y = f(x) ta thực hiện các bước sau đây:
- Bước 1: Giả sử I(a, b) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số f(x). Thực hiện phép tịnh tiến trục tọa độ Oxy→IXY:
- x=X+a
- y=Y+b
- Bước 2: Viết công thức hàm số mới trong hệ tọa độ mới:
- Ta được hàm số có dạng : Y+b=f (X+ a) ⇔ Y = g(X)
- Bước 3: Tìm a, b để hàm số g(X) là hàm số lẻ :
- g(−X) = − g(X)
Khi đó ta chứng minh được đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) là tâm đối xứng
Tuy nhiên, với 1 bài toán trắc nghiệm ta làm vậy rất lâu. Vì thế, WElearn đã giúp bạn tổng hợp lại công thức nhanh nhất, giúp bạn giải quyết chúng trong nháy mắt
Cho hàm số bậc ba y=ax³+bx²+cx+d (a≠0) có đồ thị (C). Khi đó tâm đối xứng của (C) là điểm I(−b/3a;y(−b/3a)). Điểm I đồng thời là điểm uốn của (C).
Lưu ý: Đối với hàm số bậc 3, điểm uốn cũng là tâm đối xứng của đồ thị luôn. Như vậy một hàm số bậc 3 luôn có tâm đối xứng.
Điểm uốn của đồ thị hàm số
Điểm uốn của đồ thị hàm số là gì?
Cho hàm số y=f(x). Khi đó điểm U(x0,y0 ) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu tồn tại một khoảng (a,b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a,x0) và (x0,b) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm U nằm phía trên đồ thị và trên khoảng còn lại tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Định lý về điểm uốn
Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp (2) trên một khoảng chứa điểm (x0) thỏa mãn:
- f’’(x0)=0
- f’’(x) đổi dấu khi đi qua điểm (x0)
=> Điểm ( x0 ,f( x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số f(x).
Như vậy, muốn tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x), ta giải phương trình f”(x) = 0. Khi đó, nghiệm của phương trình là hoành độ của điểm uốn
Cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x)
Để tìm điểm uốn của ĐTHS y = f(x) ta thực hiện
- Tính đạo hàm cấp 1 f'(x) liên tục trên (a,b)
- Tính đạo hàm cấp 2 f”(x) liên tục trên (a,b) và áp dụng:
- f’’(x0)=0
- Khi đi qua điểm x0, f”(x) phải đổi dấu
- Khi đó điểm (x0 ,f( x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số f(x).
Lưu ý: Tại điểm uốn f”(x) triệt tiêu hoặc có thể không xác định nhưng f'(x0) phải xác định.
Bài tập vận dụng tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3
Câu 1: Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số sau: y = 2x3 – 6x + 3.
Giải
Giả sử hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng.
Với phép biến đổi toạ độ:
Khi đó hàm số có dạng: Y + b = 2(X + a)3 – 6(X + a) + 3
<=> Y = 2X3 + 6aX2 + (6a – 6)X + 2a3 – 6a + 3 – b (1)
Hàm số (1) là lẻ
Vậy, hàm số có tâm đối xứng I(0; 3).
Câu 2: Tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = x3 +3x2 – 9x +1
Giải
- y’ = 3x2 + 6x – 9
- y’’ = 6x + 6
- y’’ = 0 ⇔⇔x = -1.
Thay x = -1 vào hàm số y = 12
Câu 3
Giải
Trên đây, Trung tâm gia sư WElearn đã tổng hợp những vấn đề cơ bản của việc xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc 3. Mong các bạn có thể hiểu và giúp bạn học Toán tốt hơn.
